Как формулируется закон сохранения полной механической энергии

Закон сохранения механической энергии

Удивительно, но закон сохранения механической энергии — базовый закон механики — открыл немецкий корабельный доктор Роберт Юлий Майер, а не ученый-физик. Майеру на момент путешествия было всего 28 лет, во время стоянки корабля в тропическом регионе при кровопускании он наблюдал, что багрово-красная кровь, вытекающая во время процедуры у жителей холодной Европы, в тропиках напоминала алую артериальную.

Майер предположил, что кровь не меняет цвет, поскольку организму в тропическом климате нет необходимости тратить кислород на поддержание

температуры тела. Вернувшись на родину, перед тем как сформулировать закон сохранения механической энергии, Майер продолжил опыты с открытыми на то время разновидностями энергии:

  • кинетической,
  • потенциальной,
  • внутренней,
  • механической;

. и смог определить, в чем заключается закон сохранения механической энергии.

«Тепло, электричество и перемещение представляют собою феномены, которые могут быть сведены к одной силе, измеряются друг другом и переходят друг в друга по определенным законам» — излагал в своей научной работе Майер.

Кинетическая и потенциальная энергия

Энергия тела — физическая величина, определяющая работу наблюдаемого тела или системы тел за бесконечно долгое время.

В изучении механических явлений рассматривают потенциальную и кинетическую энергии.

  • Единица энергии в СИ 1 Джоуль (Дж).

Кинетическая энергия — энергия, которой обладает тело в движении (вращении, перемещении в пространстве).

Футбольный мяч, летящий в ворота, летящая в цель стрела, выпущенная метким лучником, едущие с горы сани с сидящим в них хохочущим ребенком — все они во время движения характеризуются кинетической энергией.

Кинетическая энергия напрямую зависит от массы тела и скорости перемещения.

Формула кинетической энергии Ек = mv 2 /2

Где где m — масса объекта;

v — скорость перемещения объекта в конкретной точке.

Потенциальная энергия. Само по себе тело потенциальной энергией не обладает. Этот вид энергии характеризует взаимосвязь элементов объекта или двух отдельных тел в пространстве.

Стоящие на вершине холма санки, стрела, вложенная лучником в натянутую тетиву, ядро в стволе средневековой пушки — пример объекта, обладающего потенциальной энергией.

Потенциальная энергия бывает положительной или отрицательной относительно определенного условного нулевого уровня, принятого для системы координат:

  • сила тяжести,
  • сила упругости,
  • архимедова сила

Потенциальная энергия объекта зависит от приложенных к нему сил.

Если оценивать расположение объекта в отношении уровня Земли, то потенциальная энергия объекта на поверхности планеты принимается за ноль.

Уравнение Еп = mɡh поможет рассчитать потенциальную энергию на высоте h:
где m — масса тела;
ɡ – ускорение свободного падения;
h — высота центров масс объектов относительно поверхности планеты;
ɡ = 9,8 м/с 2

Потенциальная энергия упруго деформированного объекта (пружины) рассчитывается согласно уравнению:
Еп = k·(∆x) 2 /2,
где k — коэффициент жёсткости,
∆x — изменение длины объекта вследствие его сжатия или растяжения.

Суммарное число значений потенциальной и кинетической энергий объекта обозначают как механическая энергия. Для каждого конкретного объекта механическая энергия определяется не выбором системы отсчета, в которой рассчитывают скорость движения исследуемого объекта, а установлением уровня условного нуля для всех видов потенциальных энергий, определенных у данного объекта.

Механическая энергия определяет свойство объекта (системы объектов) совершать работу за счет изменения скорости перемещения объекта или изменения расположения взаимодействующих объектов относительно друг друга.

Закон сохранения механической энергии

При имеющейся замкнутой механической системе тела взаимодействуют посредством сил тяготения и упругости, тогда их работа равняется изменению потенциальной энергии тел с противоположным знаком:

A = – ( E р 2 – E р 1 ) .

Следуя из теоремы о кинетической энергии, формула работы примет вид

A = E k 2 – E k 1 .

Отсюда следует, что

E k 2 – E k 1 = – ( E р 2 – E р 1 ) или E k 1 + E p 1 = E k 2 + E p 2 .

Кинетическая и потенциальная энергии

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.

Данное утверждение выражает закон сохранения энергии в замкнутой системе и в механических процессах, являющийся следствием законов Ньютона.

Сумма E = E k + E p это полная механическая энергия.

Закон сохранения энергии выполняется при взаимодействии сил с потенциальными энергиями в замкнутой системе.

Примером применения такого закона служит нахождение минимальной прочности легкой нерастяжимой нити, которая удерживает тесло с массой m , вращая его вертикально относительно плоскости (задачи Гюйгенса). Подробное решение изображено на рисунке 1 . 20 . 1 .

Рисунок 1 . 20 . 1 . К задаче Гюйгенса, где F → принимается за силу натяжения нити в нижней точке траектории.

Запись закона сохранения полной энергии в верхней и нижней точках принимает вид

m v 1 2 2 = m v 2 2 2 + m g 2 l .

F → располагается перпендикулярно скорости тела, отсюда следует вывод, что она не совершает работу.

Если скорость вращения минимальная, то натяжение нити верхней точке равняется нулю, значит, центростремительное ускорение может быть сообщено только при помощи силы тяжести. Тогда

Исходя из соотношений, получаем

v 1 m i n 2 = 5 g l .

Создание центростремительного ускорения производится силами F → и m g → с противоположными направлениями относительно друг друга. Тогда формула запишется:

m v 1 2 2 = F – m g .

Можно сделать вывод, что при минимальной скорости тела в верхней точке натяжение нити будет равняться по модулю значению F = 6 m g .

Очевидно, что прочность нити обязана превышать значение.

С помощью закона сохранения энергии посредством формулы можно получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных точках траектории, не используя анализ закона движения тела во всех промежуточных точках. Данный закон позволяет заметно упрощать решение задач.

Реальные условия для движущихся тел предполагают действия сил тяготения, упругости, трения и сопротивления данной среды. Работа силы трения зависит от длины пути, поэтому она не является консервативной.

Закон сохранения превращения энергии

Между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, тогда механическая энергия не сохраняется, ее часть переходит во внутреннюю. Любые физические взаимодействия не провоцируют возникновение или исчезновение энергии. Она переходит из одной формы в другую. Данный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии.

Следствием является утверждение о невозможности создания вечного двигателя (perpetuum mobile) – машины, которая совершала бы работу и не расходовала энергию.

Рисунок 1 . 20 . 2 . Проект вечного двигателя. Почему данная машина не будет работать?

Существует большое количество таких проектов. Они не имеют право на существование, так как при расчетах отчетливо видны одни ошибки конструкций всего прибора, другие замаскированы. Попытки реализовать такую машину тщетны, так как они противоречат закону сохранения и превращения энергии, поэтому нахождение формулы не даст результатов.

Закон сохранения механической энергии

Суммарная механическая энергия системы () — это энергия механического энергия и взаимодействия:

где — кинетическая энергия тела; — потенциальная энергия тела.

Закон сохранения энергии создан в результате обобщения эмпирических данных. Идея такого закона принадлежала М.В. Ломоносову, который представил закон сохранения материи и движения. Количественно закон сформулировали немецкий врач Ю. Майер и ученый — естествоиспытатель. Гельмгольц.

Формулировка закона сохранения механической энергии

Если в системе тел действуют исключительно силы, которые являются консервативными, то суммарная механическая энергия остается неизменной во времени. (Консервативными (потенциальными) называют силы, работа которых не зависит: от вида траектории, точки к которой приложены данные силы, закона, который описывает движение этого тела, и определено исключительно начальной и конечной точками траектории движения тела (материальной точки)).

Механические системы, в которых действуют исключительно консервативные силы, называют консервативными системами.

Еще одной формулировкой закона сохранения механической энергии считают следующую:

Для консервативных систем суммарная механическая энергия системы величина неизменная.

Математическая формулировка закона сохранения механической энергии имеет вид:

Значение закона сохранения механической энергии

Данный закон связан со свойством однородности времени. Что означает инвариантность законов физики относительно выбора начала временного отсчета.

В диссипативных системах механическая энергия уменьшается, так как происходит преобразование механической энергии в немеханические ее виды. Такой процесс называют рассеянием (диссипацией) энергии.

В консервативных системах полная механическая энергия постоянна. Происходят переходы кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Следовательно, закон сохранения механической энергии отражает не только сохранение энергии количественно, но указывает на качественную сторону взаимного превращения разных форм движения друг в друга.

Закон сохранения и превращения энергии является фундаментальным законом природы. Он выполняется и в макро и микро мире.

Примеры решения задач

Получили квадратное уравнение:

Решая квадратное уравнение получим:

Задание Объясните, почему говорят о всеобщем характере закона сохранения энергии, но известно, что при наличии неконсервативных сил в системе механическая энергия убывает.
Решение Если сил трения в системе нет, то закон сохранения механической энергии выполняется, то есть полная механическая энергия не изменяется во времени. При действии сил трения, механическая энергия убывает, но при этом увеличивается внутренняя энергия. С развитием физики как науки были обнаружены новые виды энергии (световая энергия, электромагнитная энергия, химическая энергия, ядерная энергия). Было выяснено, что если над телом совершается работа, то она равна приращению суммы всех видов энергии тела. Если тело само совершает работу, над другими телами, то эта работа равна убыли суммарной энергии этого тела. Все виды энергии переходят из одного вида в другой. Причем, при всех переходах суммарная энергия остается неизменной. В этом и состоит всеобщность закона сохранения энергии.

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Физика

При соблюдении определенных условий полная механическая энергия системы тел не изменяется.

Если на систему не действуют внешние силы (система замкнута), а между телами системы не действуют силы трения (сопротивления), то полная механическая энергия системы сохраняется. Это утверждение носит название закона сохранения полной механической энергии и записывается в виде:

∆ E = 0, или E 2 = E 1 ,

где E 1 — полная механическая энергия системы в начальном состоянии; E 2 — полная механическая энергия системы в конечном состоянии.

При решении задач закон сохранения полной механической энергии удобно записывать в явном виде :

W k 1 + W p 1 = W k 2 + W p 2 ,

где W k 1 + W p 1 = E 1 — полная механическая энергия системы в начальном состоянии; W k 1 — начальная кинетическая энергия системы; W p 1 — ее начальная потенциальная энергия; W k 2 + W p 2 = E 2 — полная механическая энергия системы в конечном состоянии; W k 2 — конечная кинетическая энергия системы; W p 2 — ее конечная потенциальная энергия.

Из закона сохранения полной механической энергии, записанного в явном виде, следует:

т.е. изменение кинетической энергии системы ∆ W k равно убыли (знак «минус») ее потенциальной энергии ∆ W p .

Таким образом, механическая энергия может превращаться из одного ее вида в другой (потенциальная в кинетическую и наоборот).

Важным приложением закона сохранения полной механической энергии является абсолютно упругое столкновение (удар) двух и более тел.

Абсолютно упругий удар — это столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после него снова превращается в кинетическую энергию.

При абсолютно упругом ударе выполняются :

  • закон сохранения полной механической (кинетической) энергии:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 = m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 ;

  • закон сохранения импульса:

m 1 v → 1 + m 2 v → 2 = m 1 u → 1 + m 2 u → 2 ,

где m 1 и m 2 — массы соударяющихся тел; v → 1 и v → 2 — скорости первого и второго тела до столкновения; u → 1 и u → 2 — скорости тел после столкновения.

Пример 33. Вертикальный невесомый стержень длиной 12 м подвешен одним концом к оси вращения. На другом конце и в середине стержня закреплены две равные точечные массы. Какую минимальную скорость нужно сообщить нижнему концу стержня, чтобы он отклонился в горизонтальное положение?

Решение. На рисунке показаны два положения стержня с закрепленными на нем точечными массами: вертикальное (первое) и горизонтальное (второе); также показан нулевой уровень потенциальной энергии.

Обозначим величину минимальной скорости, которую необходимо сообщить точечной массе m 1 , закрепленной на нижнем конце стержня, для отклонения стержня в горизонтальное положение — v 1 . Тогда точечная масса m 2 , закрепленная в середине стержня, имеет скорость, величина которой равна v 2 . Стержень является твердым телом, поэтому угловая скорость всех его точек одинакова:

ω = v 1 l = v 2 0,5 l ,

где l — расстояние от точечной массы m 1 до оси вращения; 0,5 l — расстояние от точечной массы m 2 до оси вращения.

Отсюда следует соотношение между модулями скоростей конца и середины стержня:

Полная механическая энергия стержня с закрепленными на нем массами складывается из потенциальной и кинетической энергий указанных масс:

  • в первом состоянии системы

E 1 = m 1 g h 1 + m 2 g h 2 + m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 ;

  • во втором состоянии системы

E 2 = m 1 g H 1 + m 2 g H 2 + m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 ,

где h 1 = 0 — высота, на которой расположена масса m 1 над нулевым уровнем потенциальной энергии в первом состоянии стержня; h 2 = 0,5 l — высота, на которой расположена масса m 2 над нулевым уровнем в первом состоянии стержня; v 1 и v 2 — модули скоростей масс m 1 и m 2 в первом состоянии стержня соответственно; H 1 = H 2 = l — высоты, на которых расположены массы m 1 и m 2 во втором состоянии стержня соответственно; u 1 = u 2 = 0 — скорости масс m 1 и m 2 во втором состоянии стержня соответственно; g — модуль ускорения свободного падения.

С учетом значений высот и скоростей полная механическая энергия системы в явном виде определяется формулами:

  • в первом состоянии системы

E 1 = 0,5 m 2 g l + 0,5 m 1 v 1 2 + 0,125 m 2 v 1 2 ;

  • во втором состоянии системы

E 2 = m 1 gl + m 2 gl .

В процессе движения внешние силы на систему не действуют; скорость, сообщенная концу стержня, будет иметь минимальное значение в отсутствие трения в системе. Поэтому полная механическая энергия системы сохраняется:

или в явном виде с учетом равенства масс ( m 1 = m 2 = m )

0,5 g l + 0,625 v 1 2 = 2 g l .

Выразим отсюда модуль искомой скорости:

и рассчитаем ее значение:

v 1 = 2,4 ⋅ 10 ⋅ 12 ≈ 17 м/с.

Пример 34. При выстреле вертикально вверх пуля массой 10,0 г вылетает из ствола ружья со скоростью 500 м/с. Определить изменение потенциальной энергии пули к моменту достижения максимальной высоты. Сопротивление воздуха отсутствует.

Решение. Нулевой уровень потенциальной энергии пули выберем на поверхности Земли.

Полная механическая энергия пули относительно поверхности Земли определяется суммой потенциальной и кинетической энергии:

  • при вылете пули из ствола ружья

E 1 = W p 1 + W k 1 ;

  • к моменту поднятия пули на максимальную высоту

E 2 = W p 2 + W k 2 ,

где W p 1 — потенциальная энергия пули при вылете из ствола ружья; W k 1 — кинетическая энергия пули при вылете из ствола ружья; W p 2 — потенциальная энергия пули в момент поднятия на максимальную высоту; W k 2 = 0 — кинетическая энергия пули в момент поднятия на максимальную высоту.

Внешние силы на пулю не действуют, сопротивление воздуха отсутствует. Поэтому выполняется закон сохранения полной механической энергии:

или в явном виде

W p 1 + W k 1 = W p 2 + W k 2 .

Отсюда следует, что искомое изменение потенциальной энергии определяется равенством:

∆ W p = W p 2 − W p 1 = W k 1 − W k 2 = W k 1 ,

где W k 1 = m v 0 2 2 — кинетическая энергия пули при вылете из ствола ружья; m — масса пули; v 0 — модуль начальной скорости пули.

Таким образом, изменение потенциальной энергии пули

Δ W p = m v 0 2 2 .

Δ W p = 10,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 500 2 2 = 1,25 ⋅ 10 3 Дж = 1,25 кДж.

Пример 35. Небольшое тело массой 1,0 кг начинает соскальзывать с высоты 5,0 м по гладкому наклонному желобу, переходящему в «мертвую петлю» радиусом 1,0 м. Определить кинетическую энергию тела в момент прохождения им верхней точки «мертвой петли». Сопротивлением воздуха и силами трения в системе пренебречь.

Решение. На рисунке показаны два положения тела: в начале скольжения по желобу (первое) и в верхней точке «мертвой петли» (второе); также показан нулевой уровень потенциальной энергии.

Полная механическая энергия тела определяется суммой потенциальной и кинетической энергии:

  • в первом положении

E 1 = W p 1 + W k 1 ;

  • во втором положении

E 2 = W p 2 + W k 2 ,

где W p 1 — потенциальная энергия тела в момент начала скольжения по желобу; W k 1 = 0 — кинетическая энергия тела в момент начала скольжения по желобу; W p 2 — потенциальная энергия тела в верхней точке «мертвой петли»; W k 2 — кинетическая энергия тела в верхней точке «мертвой петли».

Внешние силы на тело не действуют, сопротивление воздуха и силы трения в системе отсутствуют. Поэтому выполняется закон сохранения полной механической энергии:

или в явном виде

W p 1 + W k 1 = W p 2 + W k 2 .

Отсюда следует, что искомое значение кинетической энергии тела в верхней точке «мертвой петли» определяется равенством:

W k 2 = W p 1 + W k 1 − W p 2 = W p 1 − W p 2 ,

где W p 1 = mgh — потенциальная энергия тела в момент начала скольжения по желобу; W p 2 = 2 mgR — потенциальная энергия тела в верхней точке «мертвой петли»; m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения; h — высота тела над нулевым уровнем потенциальной энергии в момент начала скольжения по желобу; R — радиус «мертвой петли».

Таким образом, искомая кинетическая энергия тела

W k 2 = mg ( h − 2 R ).

Вычисление дает ее значение:

W k 2 = 1,0 ⋅ 10 ⋅ (5,0 − 2 ⋅ 1,0) = 30 Дж.

Закон сохранения механической энергии

Если тела, составляющие замкнутую механическую систему, взаимодействуют между собой только посредством сил тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным знаком:

По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел (см 1.19):

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.

Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах. Он является следствием законов Ньютона. Сумму E = Ek + Ep называют полной механической энергией. Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии.

Пример применения закона сохранения энергии – нахождение минимальной прочности легкой нерастяжимой нити, удерживающей тело массой m при его вращении в вертикальной плоскости (задача Гюйгенса). Рис. 1.20.1 поясняет решение этой задачи.

К задаче Христиана Гюйгенса. – сила натяжения нити в нижней точке траектории

Закон сохранения энергии для тела в верхней и нижней точках траектории записывается в виде:

Обратим внимание на то, что сила натяжения нити всегда перпендикулярна скорости тела; поэтому она не совершает работы.

При минимальной скорости вращения натяжение нити в верхней точке равно нулю и, следовательно, центростремительное ускорение телу в верхней точке сообщается только силой тяжести:

Из этих соотношений следует:

Центростремительное ускорение в нижней точке создается силами и направленными в противоположные стороны:

Отсюда следует, что при минимальной скорости тела в верхней точке натяжение нити в нижней точке будет по модулю равно

Прочность нити должна, очевидно, превышать это значение.

Очень важно отметить, что закон сохранения механической энергии позволил получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных точках траектории без анализа закона движения тела во всех промежуточных точках. Применение закона сохранения механической энергии может в значительной степени упростить решение многих задач.

В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с силами тяготения, силами упругости и другими консервативными силами действуют силы трения или силы сопротивления среды.

Сила трения не является консервативной. Работа силы трения зависит от длины пути.

Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание).

При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую.

Этот экспериментально установленный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии.

Одним из следствий закона сохранения и превращения энергии является утверждение о невозможности создания «вечного двигателя» (perpetuum mobile) – машины, которая могла бы неопределенно долго совершать работу, не расходуя при этом энергии (рис. 1.20.2).

Один из проектов «вечного двигателя». Почему эта машина не будет работать?

История хранит немалое число проектов «вечного двигателя». В некоторых из них ошибки «изобретателя» очевидны, в других эти ошибки замаскированы сложной конструкцией прибора, и бывает очень непросто понять, почему эта машина не будет работать. Бесплодные попытки создания «вечного двигателя» продолжаются и в наше время. Все эти попытки обречены на неудачу, так как закон сохранения и превращения энергии «запрещает» получение работы без затраты энергии.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий